闲着蛋疼,回忆下Latex里的公示编辑,随便找了个推导进行排版。

利用一维平面简谐波的波动方程,对其进行量子化,得出一维定态薛定谔方程。推导破绽较多,明眼人一眼就能看出其中的问题,只是做个近似处理,更多的是联系latex了。

经典的波动方程如下:

$$\frac{\partial^2 V(x)}{\partial x^2}+\left( \frac{\omega^2}{v^2_p}\right) V(x)=0 $$

令$$\psi(x)=V(x)$$,得到(2)式:

$$\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}+\left( \frac{\omega^2}{v^2_p}\right) \psi(x)=0 $$

又:

$$ \frac{\omega^2}{v^2_p}=\left( \frac{2\pi v}{v_p}\right)^2=\left( \frac{2\pi}{\lambda}\right) ^2$$

由波粒二象性$$\lambda=\frac{h}{p}$$得:

$$\left( \frac{2\pi}{\lambda}\right) ^2=\left( \frac{2\pi}{h}\cdot p\right) ^2=\left( \frac{p}{\hbar}\right) ^2=\frac{2m}{\hbar^2}\left( \frac{p^2}{2m}\right)$$

且$$\frac{p^2}{2m}=T=E-V$$,则:

$$\frac{\omega^2}{v^2_p}=\frac{2m}{\hbar^2}\left( \frac{p^2}{2m}\right)=\frac{2m}{\hbar^2} \left( E-V\right)$$

上式代回(2)式:

$$\frac{\partial^2\psi(x)}{\partial x^2}+\frac{2m}{\hbar}\left( E-V\right) \psi(x)=0$$

作者 hsyyf

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